Transpose Matriks

TRANSPOSE MATRIKS

Jika diketahui suatu matriks A=a_ij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks A^T =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari A^T.

Beberapa Sifat Matriks Transpose :

(i)      (A+B)^T = A^T + B^T 

(ii)     (A^T) = A

(iii)    k(A^T) = (kA)^T

(iv)   (AB)^T = B^T A^T

Operasi Pada Matriks

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(a_ij ) dan B=(b_ij ) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(c_ij ) dimana (c_ij ) = (a_ij ) +(b_ij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (c_ij ) = (a_ij ) +(b_ij )  

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan B mempunyai ukuran yang tidak sama.

2. PENGURANGAN MATRIKS

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

3. PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(a_ij ) maka matriks kA=(ka_ij ) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij ) = (ka_ij )

Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB.

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(c_ij ) berukuran mxn dimana

c_ij  = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + ………………….+ a_ipb_pj

Beberapa Hukum Perkalian Matriks :

1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
3. Tidak Komutatif, A*B ¹ B*A
4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

(i)   A=0 dan B=0

(ii)  A=0 atau B=0

(iii) A¹0 dan B¹0

5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C